老祖先的智慧_筊為什麼要有兩個

我教授的通識課名稱為[數學活動與思維]，是學校的核心通識課程之一。修課學生來自不同的系所，有些人來自理學院，數學背景稍好；有些人可能連簡單分數的加減都有問題。而除了來自理工學院外，大多數的學生在高中畢業之後，都不會再接觸數學這個科目、不會再更進一步學習數學或讀與數學相關的書籍，我給這樣的一群人起一個名字，稱是[數學失學者]，這個名稱沒有貶低之意，只是客觀描述這樣的情況，而這群人多半在他們未來的專業成長中不會用到數學(至少他們認為不會)。

或許會問:既然如此，為什麼要修這堂課?那是因為通識課程制度使然，他們也無可奈何，其他同類的科目太少，不修無法畢業。因此在同情之餘，也想藉這個機會看能否提供一些不一樣的教材，讓他們在這堂課有意外的收穫。

在課堂上，我會提醒學生，一個件事如果有幾種不同的可能情況，並不是每種情況發生的機會都會一樣。(不要覺得這件事很自然，我有學生就認為下雨和不下雨這兩種情況發生的機率永遠是一半一半，就像丟擲硬幣出現正面或反面的機會) 也有人認為擲筊會出現三種情況(正正；正反；反反)，而每種情況出現的機會是三分之一。這也不只是我的學生，連新聞記者都分不清楚，請看下面報導(只要到google輸入標題就能找到這篇新聞):
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連擲8聖筊 機率1╱6561

〔記者郭芳綺／恆春報導〕連續擲出8次聖筊機率有多少？答案是1/6561！一名國中數理老師說，擲筊會出現3種情形，每種筊出現機率就是1/3，連續8次都擲出聖筊的機率，也就是1/3的8次方，等於1/6561。

不過如果將「笑杯」和「陰杯」都歸類為不獲神明認可的同一種類型，另一種就是獲得神明認同的「聖筊」，總共只有兩種類型，聖筊與非聖筊，那麼，出現聖筊的機率也就是1/2，連續出現8次聖筊的機率就等於1/256。
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這篇短短的訊息就能知道目前國內新聞記者的水準，同一篇報導可以將聖筊的機率界定成兩種也算是高手。更令人詫異的是，如果這個報導的引用屬實，那位國中數理老師也犯了我的學生犯的錯誤，這就讓人不能接受，因此我寧可相信是記者聽錯。

好在，我的學生大多數都知道聖筊的機會是1/2。
接著我會問他們:如果神明同意與不同意的聖筊機會是1/2，為什麼要用兩個?我們在丟銅板決定一件機會是1/2的事時，也都只用一個銅板，沒有人會拿兩個銅板看一正一反的，為什麼擲筊就要用兩個?

學生的回答就五花八門了。

有的說 ：「 因為在中國傳統，單數屬陽，雙數屬陰，擲筊是問陰間的兄弟，所以兩個。」(他可能忘記大多數擲筊都是問天上的神明)

有的說：「 中國人重視成雙成對，兩個可以討吉祥。」(這個看法實在吉利，沒什麼好批評的!)

也有說：「因為人有兩隻手，一手一個，也公平。」(...，還好蜈蚣沒有擲筊)

一個學生的回答倒有點意思，他說：「非聖筊的兩種(「笑杯」和「陰杯」)其實有不同含意，反反所代表的陰杯表示神明不同意，但正正所代表的笑杯其實在中國的傳統表示神明無可無不可，屬於中性回答。因此要兩個筊才能表達這個狀況。」(我不知道這個說法的真實性，但如果屬實，我才知道原來神明還會有打馬虎眼的時候)

最後，有一個學生回答：「 可能一個筊不公正吧!」

的確如此，這其實是一個數學問題。

我們都知道筊是彎月形，其中一面是平的(姑且稱為反面)，另一面彎曲(正面)。稍有一點物理學常識都知道筊的重心會偏向平的那一邊，因此彎曲的那一面朝上的機會較大，所以只有一個筊永遠不會是1/2機率，甚至會差很多。而兩個筊同時擲時便能修正這個問題。

我們舉實際例子好了，假設有一個筊，正反面的機會是0.6和0.4，這已經算是非常不公正的筊了。當兩個一起擲時，出現的情況與機率表列如下:

正正：0.6 x 0.6= 0.36  
正反：0.6 x 0.4= 0.24  
反正：0.4 x 0.6= 0.24  
反反：0.4 x 0.4= 0.16  

聖筊機率為0.24 + 0.24 =0.48，    非聖筊機率為 0.36 + 0.16 =0.52，已經在可接受的範圍了。這還是不公正的筊了，就可以有好的修正效果。

如果一個筊正反面的機會是0.55和0.45，(差一成也算是很不公正的筊了)，其結果如下

正正：0.55 x 0.55= 0.3025  
正反：0.55 x 0.45= 0.2475  
反正：0.45 x 0.55= 0.2475 
反反：0.45 x 0.45= 0.2025

聖筊機率為0.2475 + 0.2475 =0.4950， 非聖筊機率為 0.3025 + 0.2025 =0.5050，已經非常接近1/2。我沒有實際做過實驗一個筊正反面的機會是多少，但我想(只是想)相差應該不會超過一成，換言之，兩個筊同時擲時，聖筊機率已經非常接近1/2。

我不清楚中國傳統為什麼要有兩個筊的真正原因，或許學生的回答都有一點意義，但我更相信那是老祖先的智慧。

進化？

南風之薰兮，可以解吾民之慍兮。

南風之時兮，可以阜吾民之財兮。

相傳昔者舜彈五絃之琴，造南風之詩，上者為其詩之句。

舜帝在禹之前，少說也四五千年，若四、五千年前，人類就能唱出這樣的歌來，我們怎敢說我們人類在進化？

舜帝是傳說人物，且南風之詩語法工整，詩韻明朗，不太可能是舜帝所做，但此古韻在戰國時期後已廣為流傳，也絕非漢以後的人所做。

也就是少說兩千年前的人就能有此作品。

大意是藉由舜帝的口吻抒發對南風的撫慰的讚美與期盼，

南風當然是一個比喻，清煦的南風不只是解苦夏之暑，象徵的也是對當政者體恤百姓之苦的期盼。

但這個看似讚頌的語句背後更多的，是無可奈何的憂鬱心情。

因為所期盼的南風，是連帝王都不能給予和控制的。

孫維新談天的節目中，每隔一段時間談到太陽的高能粒子時，孫老師經常就會把這一詩句讀誦一次，那日聽節目中又出現時，我跟女兒解釋了這詩句意思時，

她竟然有感而發的說，他們老師的笑容就像南風，可遇不可求，

偶而出現一下笑容，對他們溫柔一點，那個時候應該就像這種感覺吧!

當時，我並不以女兒能轉化、體悟這種感覺到自身為喜，

反倒是覺得，什麼時候老師的笑容竟然能和古人殷勤期盼的、卻不可求的自然力相提並論。

老百姓在炎炎夏日中，期盼清煦南風；

老百姓在暴厲施政下，期盼溫和體恤；

學生若卻連老師的笑容都如同南風般的感到歡欣，

這種引領期盼的追求，不正應該是老師大多時間應該給予的?

或說是一個人在面對另一個人或群眾最常給予的?

也就是，學生期望得到的，只是你我日常生活的任何時刻所應該散發的。

當然，她可能只是比喻，也可能是誇飾，不能過度詮釋，

也或許老師的反應正是教育那群皮蛋學生最好的因應方式。

或許我也需要對我們的教育現狀抒發如南風般的撫慰的讚美與期盼:

南風之薰兮，可以解吾民之慍兮。

南風之時兮，可以阜吾民之財兮。

記憶訓練

我十分羨慕那些記憶力好的人，書讀過目不忘，背英文單字又準又快，再久都不會忘，而我是一個記憶不好的人，經常背的死去活來還是忘，因此求學過程中老是想著什麼方法可以增加記憶，痛苦萬分。連小叮噹的劇情，你要我說印象最深的一段，我一定會說是「記憶麵包」。

 

看這那些天天悠哉悠哉的同學，讀書東西記得牢，功課也不差，總想著上天為何這麼不公平。聽說清代大臣曾國籓當地方官時，曾站在城門口看著人民進出城門，並詢問其姓名、工作，隔天就能無一遺漏的記住這些人。我老覺得這些人才是未來人類可以存活下來的一群，將人類帶往更發展的地步。而我們這群記憶力不好的人，就像先天有缺陷的生物，是劣質品，根據演化論遲早會被淘汰。

記憶力不好有好處嗎？對我而言百害而無一利。請不要跟我說這樣容易忘記痛苦。

真的要說有什麼好處，就是我可以重複的享受小說難以預料的劇情。一本小說看到中段早就忘了前面在說什麼，所以我看小說的速度很慢，因為要一直往前翻，一本偵探小說看完後，過個幾天，再看一次跟沒看過的一樣，又是新的，連兇手是誰都忘記了。電影也是，看完後，想要耍賤的先告訴別人結局，卻往往不會奏效，因為結局不是我記的那樣。我曾經穿好鞋子後，一出門忘了我出門要做什麼，只好再進門。

聽說過了一定年齡（好像是20歲）記憶力就開始走下坡，因此許多理論都提倡利用小時候多背一些東西，而電視廣告上那些增強記憶的宣傳，儘管我並不相信，但對我仍有一種吸引力，真的可能嗎？

我安慰自己，人類是幾百萬年演化下來的，如果人還會有記憶力不好的時候，就表示記憶力差不見得對人類生存不好，相反的，擁有好記憶力甚至是有害生存的，畢竟現實生活記憶好的人仍是少數。我這樣的安慰自己。因此對於可以增進記憶的方法，我卻有些覺得不屑，我想主要的原因是我做不到，寧可污衊它來覺得安心。

我也聽過一些記憶力訓練的演講，將了一些方法，聯想法、專注法、故事法、...，可以將一大堆零散的知識，快速的記下來，的確很厲害，些列出十幾個完全無關的名詞，如超人、醫院、氣球、大樹、球棒、...，現場要大家試著背，發現大家根本記不起來後，再用他們教的方法，果然大家一下子就把這些記下來了，我不太能接受，因為利用想像力編一個故事，將這些連起來，雖然過程「很有畫面」，但編出來的故事完全不合常理，不合邏輯，例如：想像「一個超人拿著大樹做的球棒，將氣球打到醫院，天使拿著冰淇淋做的手槍....」什麼跟什麼？

況且，生活上，誰需要去同時背「超人、醫院、氣球、大樹、球棒、天使、冰淇淋、手槍...，」這一串東西？一點都不實際。

一直到聽到科技伊媚兒的節目，終於得到支持這個論點的相關研究，詳情可參考科學人雜誌，研究發現受過記憶訓練的果蠅，忍受惡劣環境的能力會降低，good job！那些記憶訓練的機構一定得想辦法隱瞞這個研究的發表。因為擁有好的思維方式比好的記憶更佳，而增強記憶的訓練是有害生存的。

 

我安心了！

新聞中的數學

由於職業的關係，不自覺的會對於報章雜誌的數學議題多加留意，
前幾日看到中時的一篇標題為「八年最糟 重返負利率 台幣越存越薄」報導，
直覺其中數學有錯，他的報導是這樣的：

引自中時電子報 更新日期: 2008/05/26 04:33 陳怡慈台北報導

『......所謂「實質利率」，為「名目利率」平減掉「物價」後的利率，可以看成是貨幣的購買力（不考量匯率因素）。

如果把「一年期存款利率」當成「名目利率」，再扣除掉物價上漲因素，根據統計，四月消費者物價上漲率三．八六％，負利率達一．二％；如以一到四月物價上漲率三．六五％算，實質負利率○．九％；但如以經建會認為最悲觀可能達到全年四％的物價上漲率計，實質利率達負一．三四％，不論那個數字都算是近八年來最糟狀況。

以我國最新總體經濟情勢為例，一年期存款牌告利率二．六六％，但，如全年物價漲幅卻接近四％，中信銀個人金融總管理處財富管理處副總隋榮欣解釋，這代表，原本拿一百元可以買到的東西，必須拿一○四元才買得到。

由於民眾拿一百元存銀行，只能獲得二．六六元的利息報酬，在物價漲幅四％之下，必須拿一○四元去買東西，隋榮欣說，這代表原本手上的一百元，實際上剩下九八．六六元，貨幣的購買力變弱了。......』

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上述的報導標題所說倒是十分公允，台幣越存越薄，但要如理財專家提醒：「擁抱現金會變乞丐！」，此形容實在過於誇張。姑且不論這些專有名詞的界定，這位好心的作者舉了一個例子，好的例子的確有助於理解所要闡述的事件，但例子的目的除了，可以讓人更貼近所要表達的形式內涵、可以讓闡述者對所要表達的議題有證據支撐，同時也希望能傳遞正確的訊息，既然這篇報導所依據的是統計數字，如此一來，這個正確的訊息就必須要顧慮數據的精確性。

這裡的問題出在哪？沒有錯，在物價漲幅的條件下，貨幣的購買力變弱是個不爭的事實，中信銀的副總解釋的也十分淺顯易懂：「原本拿一百元可以買到的東西，必須拿一○四元才買得到。」但這和後來所說的：「原本手上的一百元，實際上剩下九八．六六元。」是兩回事。

這沒什麼好爭辯的，因為物價漲幅是一個比例問題（這是乘除法），而後來用於計算的，卻是和差問題（這是加減法）。就算不知道實際的數字是什麼，也能一口認定：「他絕對算錯了」。

首先，看看副總所說「原本手上的一百元，實際上剩下九八．六六元」中的「九八．六六元」這個數據怎麼來的？
明眼人一看就曉得，他是將原本100元的「東西」變成的104元的價格所形成的差價「四元」，當成一百元的錢在購買力上的損耗（100-4＝96），再加上100元的錢潛在的生息獲利2.66元，因此得到剩下98.66（96+2.66＝98.66）。

或是這位副總先將100+2.66，再減去4。無論如何，這個結果都不該解釋成實際上只剩下98.66元。

這裡就至少犯了兩個錯誤：首先，100元的的東西變成104元的價格，並不表示原來100元的錢只能買96元的東西。雖然兩者都是相差四元，之間的比例卻是不同的。不能夠直接用4來做加減。換著簡單的角度來想，當原來100元的的東西變成104元的價格時，那原來的96元的東西會變成多少錢？
答案是96x104％＝99.84。

也就是說當原來100元的的東西變成104元的價格時，100元能買到的是原來約96.15元的東西（100除以104％）。
相同道理，2.66也不能直接加減就想得到答案。因此，用「96+2.66」或是「先用100+2.66再扣掉4」都是不對的。

最直接的算法，應該是100x1.0266（也就是102.66元）再除上1.04，就會得到98.71元，這就是原來100元的只買得到原來98.71的東西。而要買到調漲後的104元的東西，就必須花原來的101.3元（104除以1.0266）。

看起來有點頭混腦漲了。不這樣，怎麼會連中信銀的副總都會弄錯。

用下表來看可能更為清楚：（年限皆為一年）

原 100 元的錢 ------ 放入銀行生息2.66％--- 變成 102.66元
原 101.3 元的錢 ---- 放入銀行生息2.66％--- 變成 104 元
原 100 元的東西 ----- 物價調漲4％後-------- 變成 104 元
（上述為簡化論述都已經有四捨五入到小數第二位）

簡單的說，假如你現在有一百元可以買一個100元的拉拉熊產品，但你忍住了不買，把一百元存入銀行。

一年後你領出來，銀行連本帶利給你一張102.66元的支票。

但拉拉熊產品已經變成104元了，所以你無法用當初的100元所換來的這張支票買到了原來的拉拉熊產品。

你如果要買，當初就得在銀行存 101.3 元，一年後剛好就會有 104 元。

換言之，等同於一年後你得花比現在的貴1.3元買相同的東西。

或許你會說，差那麼一點點，計較什麼？說的也是！我不否認，計算的結果數字差0.05的確是有些大驚小怪，但重點在連方法都用錯，「乘除」和「加減」搞錯，不能原諒。

像個數學系的學生吧！

「你可以不會，但不能寫出不像數學系的學生該有的答案！」

 

這句話是每次期中、期末監考前一定會告誡學生的話。

這句話的前半部，代表這一個數學系學生的能力、他有沒有用功、是否撤底瞭解所學的內容、...

後半部，卻代表這一個學生對數學的感覺、一些對數學基本的態度、以及念數學系的基本素養。

前者，是對不起自己，

後者，是羞辱自己，也羞辱他們所念的數學。

明顯的邏輯錯誤、基本的數學用語不對、「因為-所以」的簡易推論搞錯、...、

請不要認為因為我是標準過高才對這些錯誤大驚小怪，

我說的都是數學上的ABC。

有一個高等幾何的期中考題目是這樣的：

「如何用一把短尺，畫出連接兩個遠距離點的直線。」

 

這是一個數學題，不是一個腦筋急轉彎或是創意頭腦題，

考的是學生知不知道要應用共極共軸的「狄沙格定理」，

想辦法找到介於之間且在線上的點。

一般人都可能會遇到這一類的實際問題，要連接兩個點但尺太短，怎麼做?

你當然可以用各種方法畫出這條實際需要的線，

但如果這是一個高等幾何課程用來考數學系學生的數學題，

要的就是嚴謹的論證，這是一個基本的數學素養。

不可否認，這是一個難題，雖然課堂上都會教，但仍是一個難題，

就算是數學系的學生不會，或是學過忘了，或是一下子用不出來，我都可以接受。

你可以因不會做而空白，你也可以試著用其他方法，

 

但有一個學生的答案是這樣：

先過一點朝著另一點的方向劃過去，如果太高了，下次就低一點，多畫幾條總會有成功的！

（他應該去當工匠，不該企圖當數學家或數學老師）

另一個學生的答案是這樣：

「如果這條線畫出來了，則這這兩點的中點也會在線上。

這個中點和這兩個點的中點（也就是四分之一點）也會在線上，

一直做下去，八分之一，十六分之一，...

因為原來兩點的距離是有限的（如果無限，題目就沒意義了）

根據阿基米得原理，

一直分下去總會到了比這一根尺短的時候，依序將這些點連起來就完成了！」

（真是狗屁，氣到不想評論，我以為這種氣只有聽到政治人物說話才會有！）

要不是每題都有配分，我真想給整份考卷零分。

如果你覺得，他們的答案沒什麼不好，這也是為什麼你不會選擇念數學系，

任何有一點感覺的人，都知道他是在羞辱這份考卷和他自己。

而這些人都想當數學老師，

不久也會進入學校，對這另一群中學生「作威作福」！

大肆的批評「現在的中學生程度怎麼這麼差」！

精確的數字vs.優美的文字

一位唸純數的友人，在看到我的碩士論文後，下了一個評語：「數學教育」的研究報導，是以優美的文字替代精確的數字。

當時，心中的確感到不快與委屈，心想：誰說我們不使用精確的數據。

況且優美的文字並不是我們研究的立基，我們也是有嚴謹的研究方法在背後支撐，

而不是想藉由優美的文字來裝飾空洞的內容。

但，一時之間的確無法反駁他的話，因為他的碩士論文充滿了公式與數據，

前後只有短短的幾頁就描述完畢，而我的論文光「緒論」就超過的他的論文的總量，而緒論還只佔我論文的極小部分。

之後，我花了不少時間想要證明數學教育的論文也是有精確的數據支撐的，

卻發現，儘管有許多的數學教育研究上都附有大量的數據，但要說精確，

除非把「精確」的標準放的很低。

最後不得不自我懷疑，難道精確的數字真是我們這個學門所缺少的。

無獨有偶的，日前在聽王道還老師的節目，提到了物理學與生物學也遇到相同的問題，

生物學也經常是物理學家嘲笑的對象，說是因為無法提供精確的數字，因此只能用優美的文字來包裝，

這也是為何生物學的革命是幾個科學領域中最晚發生的。

舉例來說，科學人雜誌描述，

物理學家注意到某個山脈的鈾礦中發現當地鈾的含量與標準值相差0.000003，

便警覺到必有不尋常的是情曾發生在這處礦場上，

透過分析研究，進而得到該處鈾況在20億年前曾發生自發性的和反應，

這是多麼細微的數字支撐著。

再看看天文學家，幾百年前他們便能從觀測的數據，知道地球繞太陽的軌道是橢圓形，

而現代的天文學家從偵測到幾萬光年外的一顆行星繞過他的恆星所產生的光度變化，

就能描述這個星體的一些特性，包含大氣的成分，這有要有多麼細微精確的數據支持，

化學家就不用說了，光從「ppm」、奈米這些單位就足以證明精確的數據是多麼重要。

但，這也讓我重新思考，或許我要做的，不是為數學教育學門去找尋精確的數字，

而是去接受數學教育根本沒有需要也無法運用精確的數據，

因為我們關心的是人，是大眾的人，而人的問題不應該用精確的數據來衡量。

數學教育關心的，是數學知識傳遞的能用問題，本質上這跟社會科學是分不開的。

而社會科學關心的就是多數人所建立的社會現象，

在乎的不是精確的數字，而是有用的數字。

至於優美的文字，相信我，不是每個人都做的到的！

老故事

一個老故事，大意大概是這樣的:(我不知原出處，僅能說個大意)

一個成功的企業家退休後，來到了一個風光明媚的小漁村過他的退休生活。一日在海邊散步看到一個中年漁夫剛捕魚回來，時候尚早卻已收網準備離開。
企業家感到好奇，上前問漁夫：「你好，補多久了？」
漁夫回答：「沒多久，不過夠了！」
企業家：「怎麼不多捕一些魚？」
漁夫：「這些魚已經足夠我一家生活所需了！」
企業家：「時間還早，那剩下的時間要做什麼？」
漁夫：「賣了魚，回來後跟孩子們玩一玩，再睡個午覺，黃昏時跟村子的朋友喝杯酒，聊聊天、玩玩吉他，生活十分充實呢！」
企業家對此不以為然，他對漁夫說：「你應該多花時間捕魚，賺更多的錢，換一艘更大的漁船，補更多的魚，慢慢組成一個船隊，接著可以蓋一個漁業加工廠，自己將抓來的魚做成罐頭，然後利用企業化經營和好的行銷管道，不斷擴充你的業務。最後可以將企業上市，然後到國外當個大企業家。等賺夠了，就可以像我退休。」
漁夫：「這樣大概要多久？」
企業家：「大概十五到二十年。」
漁夫：「然後呢？」
企業家：「之後把公司賣掉，當個億萬富翁，每天睡到自然醒，高興時出海抓幾條魚，回來後玩一玩，再睡個午覺，黃昏時跟村子的朋友喝杯酒，聊聊天、玩玩吉他，生活逍遙快活。」
漁夫聽後如丈二金剛，疑惑的說：「我現在不正是過著這樣的生活了嗎？」

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我一直以為這只是一個故事，太不真實，也情節也漏洞百出，純像一個為傳達特定意涵而設計的故事。不想這樣的對話卻發生在我身上。

那一日，一早我進辦公室後，先花了半小時回了與業務相關的信件，又花了一個小時處理好解決了今天預定要完成的業務後，泡了一杯咖啡，拿了一本我喜歡的數學科普書悠哉地翻閱著，一位退休老師晃進了辦公室，看我一派輕鬆，苦口婆心的對我說：「現在競爭激烈，你應該多花時間做研究，多發表文章，趕快找到教職工作，早點當教授，才能早點退休，享受。」

我尷尬的蓋上了書，笑著回答：「老師，我哪有你這麼好命。老師，您退休後都做什麼？」

退休老師：「睡到自然醒，不過自然醒也是五、六點。起來後到處閒晃，愛去哪去哪，喝杯咖啡，做一些之前退休前沒空做有興趣的事，看有興趣的書。」

我佯裝羨慕的回答：「真好!」，但心裡頭去想著：「我現在不正是過著這樣的生活了嗎？」

但實際上，我卻不能享受這樣的生活，因為除了我的家人，幾乎每一位老師都希望我趕快找到教職工作，早點當教授。我心裡頭明白，這些人都是為我好，我滿是感激。

但是我仍收起了書科普書，打開了電腦未完成的論文開始跑統計，此時心裡頭突然絞痛了一下，我順了順呼吸，心痛消失了。我想起了這個老故事，我相信如果真有這個故事發生，那位漁夫仍會過著他原有的生活。而我則開始羨慕他的豁達與堅持。